حل تمرین صفحه 131 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 1 این تمرین مفهوم **احتمال نظری** و **انتظار ریاضی** را در آزمایش‌های تصادفی توضیح می‌دهد. ### تحلیل صفحه گردان صفحه گردان به **۳ بخش مساوی** تقسیم شده است. بنابراین، احتمال ایستادن عقربه روی هر رنگ برابر است با $P = \frac{1}{3}$. تعداد کل آزمایش‌ها: $N = 300$ بار. --- ### بررسی عبارت‌ها **الف) عقربه $100$ بار روی زرد می‌ایستد.** * **تشخیص:** $\times$ (**نادرست**) * **دلیل:** **انتظار** ما این است که ۱۰۰ بار روی زرد بایستد ($300 \times \frac{1}{3} = 100$). اما در یک آزمایش واقعی (احتمال تجربی)، تعداد دفعات دقیقاً $100$ **حتمی نیست** و معمولاً کمی متفاوت است. "ایستادن" ۱۰۰ بار دقیق، یک اتفاق تصادفی است. **ب) انتظار داریم عقربه تقریباً $100$ بار روی آبی بایستد.** * **تشخیص:** $\checkmark$ (**درست**) * **دلیل:** **انتظار ریاضی** (Expected Value) برابر با $100$ است. وقتی می‌گوییم "**تقریباً** انتظار داریم"، منظورمان همان انتظار ریاضی است که نتایج تجربی حول آن خواهند بود. **ج) تعداد دفعاتی که عقربه روی هر یک از این سه رنگ می‌ایستد، حتماً برابر است.** * **تشخیص:** $\times$ (**نادرست**) * **دلیل:** اگرچه هر سه رنگ شانس **برابر** دارند ($P = \frac{1}{3}$)، اما نتایج واقعی آزمایش‌های تصادفی **باید** متفاوت باشند (مثلاً ممکن است ۹۸ بار زرد، ۱۰۵ بار آبی و ۹۷ بار سبز بیاید). برابر بودن دقیق دفعات، حتمی نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 2 برای محاسبه احتمال در پرتاب یک تاس، ابتدا باید **فضای نمونه** را مشخص کنیم. **فضای نمونه** ($S$): $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ **تعداد کل حالت‌ها** ($n(S)$): $6$ --- ### الف) احتمال آمدن مضرب ۵ * **حالت‌های مطلوب (A):** مضارب ۵ در بین اعداد ۱ تا ۶. $$A = \{5\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(A) = 1$ * **احتمال:** $$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{6}$$ **احتمال آمدن مضرب ۵، $\frac{1}{6}$ است.** --- ### ب) احتمال آمدن شمارندهٔ ۶ * **حالت‌های مطلوب (B):** شمارنده‌های (اعدادی که ۶ بر آن‌ها بخش‌پذیر است) عدد ۶ در بین اعداد ۱ تا ۶. $$B = \{1, 2, 3, 6\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(B) = 4$ * **احتمال:** $$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ **احتمال آمدن شمارندهٔ ۶، $\frac{2}{3}$ است.** --- ### ج) احتمال آمدن ۷ یا بیشتر * **حالت‌های مطلوب (C):** اعدادی که ۷ یا بزرگتر از ۷ باشند در بین اعداد ۱ تا ۶. $$C = \{\varnothing\}$$ (مجموعه تهی، زیرا چنین عددی در تاس وجود ندارد.) * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(C) = 0$ * **احتمال:** $$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0$$ **احتمال آمدن ۷ یا بیشتر، $0$ است (پیشامد غیرممکن).**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 3 این تمرین به محاسبه احتمال برای انواع مختلف اعداد در بازه ۱ تا ۳۰ می‌پردازد. **فضای نمونه** ($S$): $\{1, 2, 3, \dots, 30\}$ **تعداد کل حالت‌ها** ($n(S)$): $30$ --- ### الف) احتمال فرد بودن عدد روی مهره * **حالت‌های مطلوب (A):** اعداد فرد در بازه ۱ تا ۳۰. تعداد اعداد فرد نصف اعداد است: $$n(A) = \frac{30}{2} = 15$$ * **احتمال:** $$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$ **احتمال فرد بودن عدد روی مهره، $\frac{1}{2}$ است.** --- ### ب) احتمال مضرب ۵ بودن عدد روی مهره * **حالت‌های مطلوب (B):** مضارب ۵ در بازه ۱ تا ۳۰. $$B = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(B) = 6$ * **احتمال:** $$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$$ **احتمال مضرب ۵ بودن عدد روی مهره، $\frac{1}{5}$ است.** --- ### ج) احتمال اول بودن عدد روی مهره * **حالت‌های مطلوب (C):** اعداد اول در بازه ۱ تا ۳۰. $$C = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(C) = 10$ * **احتمال:** $$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$ **احتمال اول بودن عدد روی مهره، $\frac{1}{3}$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 4 این تمرین به محاسبه احتمال برای یک صفحه گردان (اسپینر) که بخش‌های آن دارای **احتمال‌های نابرابر** هستند، می‌پردازد. **تعداد کل حالت‌ها** (تعداد کل بخش‌ها) برابر است با: $n(S) = 8$. --- ### الف) احتمال ایستادن عقربه روی سبز * **تعداد حالت‌های مطلوب (سبز):** $3$ بخش * **احتمال:** $$P(\text{سبز}) = \frac{\text{تعداد بخش‌های سبز}}{\text{تعداد کل بخش‌ها}} = \frac{3}{8}$$ **احتمال ایستادن عقربه روی سبز، $\frac{3}{8}$ است.** --- ### ب) احتمال ایستادن عقربه روی آبی * **تعداد حالت‌های مطلوب (آبی):** $2$ بخش * **احتمال:** $$P(\text{آبی}) = \frac{\text{تعداد بخش‌های آبی}}{\text{تعداد کل بخش‌ها}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ **احتمال ایستادن عقربه روی آبی، $\frac{1}{4}$ است.** --- ### ج) احتمال ایستادن عقربه روی قرمز * **تعداد حالت‌های مطلوب (قرمز):** $3$ بخش * **احتمال:** $$P(\text{قرمز}) = \frac{\text{تعداد بخش‌های قرمز}}{\text{تعداد کل بخش‌ها}} = \frac{3}{8}$$ **احتمال ایستادن عقربه روی قرمز، $\frac{3}{8}$ است.** **(نکته:** چون احتمال سبز و قرمز بودن برابر است ($3/8$) و احتمال آبی بودن کمتر است ($2/8$)، این نشان می‌دهد که در این چرخنده، احتمال‌ها برابر نیستند.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 5 این تمرین مفهوم **پیشامد متمم** (Complementary Event) و محدودیت‌های محاسبه **تعداد** مهره‌ها را با استفاده از **احتمال** بررسی می‌کند. ### الف) محاسبه احتمال سبز نبودن مهره پیشامد "سبز نبودن مهره"، **متمم** پیشامد "سبز بودن مهره" است. مجموع احتمال یک پیشامد و متمم آن همیشه برابر با $1$ است: $$P(\text{سبز نبودن}) = 1 - P(\text{سبز بودن})$$ * احتمال سبز بودن: $P(\text{سبز}) = \frac{3}{8}$ * احتمال سبز نبودن: $$P(\text{سبز نبودن}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$ **احتمال سبز نبودن مهره، $\frac{5}{8}$ است.** --- ### ب) آیا می‌توانید تعداد مهره‌های درون پاکت را پیدا کنید؟ چرا؟ **پاسخ:** **خیر، نمی‌توانیم تعداد مهره‌های درون پاکت را پیدا کنیم.** **چرا؟** * ما می‌دانیم که نسبت تعداد مهره‌های سبز به کل مهره‌ها $\frac{3}{8}$ است. این نسبت می‌تواند بیانگر حالت‌های مختلفی از تعداد کل مهره‌ها باشد. * برای مثال، تعداد کل مهره‌ها می‌تواند **۸** (که در این صورت ۳ مهره سبز است)، یا **۱۶** (که در این صورت ۶ مهره سبز است)، یا **۲۴** (که در این صورت ۹ مهره سبز است)، و ... باشد. * چون $\frac{3}{8}$ فقط یک **کسر ساده شده** است، ما به اطلاعات بیشتری (مانند تعداد مهره‌های سبز یا تعداد کل مهره‌ها) نیاز داریم تا بتوانیم تعداد دقیق کل مهره‌ها را پیدا کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 131 - تمرین 6 این تمرین یک سؤال مفهومی در مورد **استقلال پیشامدها** در تئوری احتمال است. **حدس شما:** (هر دو حالت قابل قبول است، اما باید دلیل درست ارائه شود) * بیشتر مردم حدس می‌زنند که احتمالاً **پشت** می‌آید، زیرا احساس می‌کنند شانس **جبران** دارد. * اما پاسخ علمی این است که احتمالاً **رو یا پشت** با شانس **$\frac{1}{2}$** می‌آید. **پاسخ صحیح (تئوری احتمال):** احتمال اینکه بار پنجم **رو** بیاید، $\frac{1}{2}$ است و احتمال اینکه **پشت** بیاید نیز $\frac{1}{2}$ است. **چرا؟** * **استقلال پیشامدها:** پرتاب سکه یک **آزمایش مستقل** است. این بدان معناست که نتیجه پرتاب‌های قبلی (آمدن چهار بار رو)، **هیچ تأثیری** بر نتیجه پرتاب پنجم ندارد. سکه **حافظه** ندارد! * **شانس ثابت:** در هر پرتاب، فقط دو حالت هم شانس (رو یا پشت) وجود دارد، بنابراین شانس رو آمدن همیشه **۵۰ درصد** یا **$\frac{1}{2}$** است، صرف نظر از آنچه قبلاً اتفاق افتاده است. * **توهم قمارباز (Gambler's Fallacy):** فکر کردن به اینکه "باید" پشت بیاید تا تعادل حفظ شود، به عنوان **توهم قمارباز** شناخته می‌شود و یک اشتباه رایج در درک احتمال است.